Oddur lauk embættisprófi í læknisfræði árið 2005 frá Háskóla Íslands, MS-prófi í viðskiptafræði árið 2008, og doktorsprófi í geðlækningum árið 2014. Hann lauk sérnámi í geðlækningum árið 2015 og hefur starfað á geðsviði Landspítala síðan þá.
Oddur hefur einnig sinnt öðrum störfum svo sem á sjúkrahúsinu Vogi, sem sérfræðingur í hlutabréfum hjá Landsbankanum, í hugbúnaðarþróun hjá CIS-Theriak, og í 10 ár í stjórn Almenna lífeyrissjóðsins, þar sem hann var um tíma formaður stjórnar.
Oddur hefur verið virkur í félagsstörfum og situr meðal annars í ritstjórn Læknablaðsins, í samninganefnd læknafélagsins að kjarasamningum og í vísindanefnd geðlæknafélagsins. Hann hefur einnig verið aðili að kennsluráði sérnáms í geðlækningum frá 2018 og komið að handleiðslu sérnámslækna í geðlækningum í mörg ár. Oddur er starfandi lektor við Háskóla Íslands, þar sem hann einbeitir sér að vísindarannsóknum, sérstaklega á geðrofssjúkdómum.